Logaritmos

 Logaritmo

Após algum tempo pensando como eu começaria esse post, resolvi começar pelo início, o surgimento e para que serve esse "instrumento de calculo".  Devo ressaltar também que irei postando sobre o assunto ao decorrer do tempo.
Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.
-Criador:

Embora John Napier (1550-1617) um barão escocês que foi teólogo e matemático, seja reconhecido como criador dos logaritmos, devemos lembrar que o mesmo foi um dos que impulsionaram fortemente o desenvolvimento, juntamente com ele outros matemáticos trabalharam na criação dos logaritmos, isso aconteceu perto do início do séc. XVII.
Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como  prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.
O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica, que basicamente falando é uma seqüência de números que obedece a uma lei de formação tal que cada termo é obtido do anterior através do produto de uma constante denominada razão.
b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …

os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,
PA
   
1
   
2
   
3
   
4
   
5
   
6
   
7
   
8
   
9
   
10
   
11
   
12
   
13
   
14
PG
   
2
   
4
   
8
   
16
   
32
   
64
   
128
   
256
   
512
   
1024
   
2048
   
4096
   
8192
   
16394

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

    * 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
    * 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

    * como 8+5=13,

    * 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.

Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida, evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número = 0,9999999, que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele multiplicava cada potência
Howard Eves é o autor do livro Introdução à História da Matemática. A referência é a da tradução de Hygino H. Domingues, 2a edição, Editora da UNICAMP, Campinas, SP, 1997

por . Então, se , ele chamava L de "logaritmo" do número N.

Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de é 1.

Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.

Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.

Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.

Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia.

Após uma pesquisa na internete sobre o assunto achei alguns vídeos sobre logaritmos, que podem ajudar exclarecer algumas dúvidas.